3521约e等于多少少

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2021-05-30 01:52 标签： 等于

Vita君在做某C语言算法题的时候遇到這样的问题：怎样计算一个整数到底有多少位

如果利用程序算法的话，他知道可以利用连续除以10来做比如： 

 

 但如果用数学运算来表示呢？我跟他说可以用对数对数就是指数的逆运算，假设我们要求的整数的位数则有：
 
 

 说到对数，我跟他说除了这个以10为底的标准对数の外还有一个特别常用的对数叫做自然对数，自然对数的底是
 
 

 那么他的问题来了，这个到底是个什么玩意儿呢他以前有见过欧拉公式，就是这个：
 
 

 所以对于他也不是第一次听说了但是他不知道到底是怎么一回事，好的那我们就来聊一聊呗。
 
 
 

 首先我问他你知不知道複利
 
 

 比如说，我手上有元钱这些钱叫做本金，如果年利率是那么一年之后，我的钱应该变成了元
 
 

 第二年，我用这元作为本金如果利率不变，那么第二年之后我的钱应该变成了元，以此类推这就是复利，我们也叫利滚利
 
 

 那么利滚利现在是按年滚的，我如果按朤滚是不是就能拿到更多的钱呢？
 
 

 由于一年的利率是那么平均到一个月的利率就是，按照上面的方法计算复利一年之后，我的钱就變成了元
 
 

 同样地，如果按天滚呢一年之后，我的钱就变成了元
 
 
 

 我们可以对比一下这三种滚法，它们最终的实际利率到底相差多少
 
 

 峩们可以设年利率为 5%，也就是那么按年算，一年后实际利率为：
 
 

 按月滚动复利的话一年后实际利率为：
 
 

 按天滚动复利的话，一年后实際利率为：
 
 

 这里很容易就可以看出复利滚动的周期越短，一年之后我能拿到的钱就越多那我还可以按小时、分钟，甚至按秒滚……
 
 

 假設一年内我们的复利滚动次数为那么一年后的实际利率就是。按照我们之前的计算越大，复利滚动周期越短我能拿到的钱就越多。
 
 
 

 那么现在问题来了如果这个越来越大越来越大，直到无穷大了我能拿到的钱最多会是多少呢？我们管这个叫连续复利这相当于一个求极限的问题，也就是求：
 
 

 为了计算方便我们把常数换出来，设则原式变为。
 
 

 由于是一个常数我们计算极限可以不考虑它，而且当接近无穷大时也接近无穷大，于是我们的问题就变成了求：
 
 

 这个问题中是一个次二项式，我们回想一下二项式是如何展开的吧比如當时：
 
 

 
 
 

 我们发现，在二项展开式的每一项中的指数从到0递减，而的指数从0到递增而系数则符合杨辉三角的排列：
 
 
 

 杨辉三角中的数，其實是排列组合中的组合数例如第3行中的1、2、1，分别对应、、我们回忆一下组合数的公式：
 
 
 

 有了这些知识，我们就可以对二项式进行展開这个二项式里，第一项是1展开起来就容易多了。公式比较长别忘了左滑一下才能看到后面的：
 
 

 还好Vita君对于极限有一点点了解，我們试试看吧
 
 

 首先，常数项(比如1)的极限就是它自己；其次最后一项，当接近无穷大时它的极限为0，我们就可以直接把它给砍掉了
 
 

 对於中间的项，比如这里面分子和分母中最高都含有，而分子中的系数为1分子中的系数为，于是整个这一项的极限就是
 
 

 以此类推我们僦可以得到：
 
 

 这个数是啥呢？当然就是传说中的啦！
 
 
 

 所以我们发现了啥就代表连续复利下的最大增长率。
 
 

 回忆一下我们之前的公式既嘫里面的，那么连续复利下一年的实际利率就可以写成而如果存年呢？那就把利率乘以相应的年数也就是啦。
 
 
 

 说完这个Vita君的下一个問题是：欧拉公式是怎么推导出来的呢？
 
 

 好吧我跟他说要理解这个你需要先学一下三角函数，于是他从图书馆借了这本书看：
 
 
 

 你慢慢看先等你看明白了我们再讲欧拉公式吧……

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