在我国的公务员考试中有不定方程的求解，难度颇大。不定方程是小学奥数五年级的知识点，今天来讨论下解法。

定义：形如下式的方程称为一次不定方程，其中未知量的个数大于方程的数量：

其中方程的系数是整数，求方程的整数解或正整数解。

背景：不定方程最早由丢番图(Diophantus)进行研究，因此又称丢番图方程。它是数论中最古老的分支之一，与代数数论、几何数论和集合数论有着密切的联系。

数论解法：数学解法分为以下三个步骤：

l  构造出解的结构，即写出所有解。

1）整系数一次不定方程有解的充分必要条件是：a、b的最大公约数可以整除c。一般记为(a,b)|c。

例如：对于方程3x+6y=8。(3,6)=3，系数a和b的最大公约数是3，而8不能整除3，所以该方程没有整数解。

特别的，如果a、b是连续的正整数，由于连续的正整数必定为一个奇数和一个偶数，它们的公约数为1。而1可以被任何整数整除，所以一定有整数解。

2）特解的寻找，通常可以观察得到，或者代入特殊数。

例如：对于方程x+2y=4，很容易发现，(2，1)是其中一个解。或者令x=0，可以得到y=2，即(0,2)也是一个特解。或者令y=0，有x=4，即(4,0)也是特解。

3）有了特解以后，整系数一次不定方程的通解为：

其中(a,b)表示a和b的最大公约数，t为任意整数。

4）当系数a和b较大时，不容易观察发现特解，可以采用类似“辗转相除”方法得到。

该方程很容易就能观察得到v=1,w=0是一个解。

再进行回代，得到原方程的一个特解：x=-8，y=3。

于是原方程的所有解为：x=-8+107t，y=3-37t，t为任意整数。

需要说明的是，尽管通解的形式可能不同，但是经过代换后，其实质是一样的。

5）另外，对于应用问题，通常要求整数解为正整数。这时通过讨论变量的取值范围，可以得到有限组解。

6）对于连续自然数为系数的不定方程，由于a和b互质，辗转相除法不能进行简化，但是可以通过“凑数”的方法求得特解。

程序解法：由于所求不定方程的解都是整数，应用问题都是正整数，因此可以采用多重循环，非常简单的予以实现。

将该程序进行改写，就可以计算出任意整系数一次不定方程的解。

后记：不定方程在数学发展史上之所以重要，是因为它在没有计算机的洪荒年代是研究质数的手段。而人类最终发现数论的本质就是研究质数。

真正属于编程领域的算法课题，是采用扩展的欧几里得法求解不定方程。其实质是运用辗转相除法求得系数a和b的最大公约数，再进行回代。限于篇幅，本文就不展开了。